Toplinska jednadžba
Autor teksta: Bojan Crnković, Fakultet za matematiku, Sveučilište u Rijeci
Razvoj mehanike i termodinamike krenuo je nakon što su Newton i Leibnitz razvili infinitezimalni račun. Vrlo brzo se pokazalo da modeli koji dobro opisuju pojave u prirodi ovise o rješenjima parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
Parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDE) igraju temeljnu ulogu u modeliranju i predviđanju različitih fizikalnih pojava, uključujući procese provođenja topline i difuzije u prirodi. Ove jednadžbe opisuju kako se veličine kao što su temperatura i koncentracija ovise o neovisnim varijablama kao što su vrijeme i prostorne koordinate. U kontekstu provođenja topline i difuzije, PDE su važni alati za razumijevanje načina na koji se toplinska energija ili tvari šire kroz različite medije.
Jedna od najpoznatijih PDE-ova koja se koristi u modeliranju provođenja topline i difuzije je jednadžba topline, također poznata kao jednadžba difuzije. Opisuje kako se raspodjela temperature u materijalu mijenja tijekom vremena. Jednadžba se može zapisati na ovaj način:
\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\alpha \Delta_x u(x,t), gdje je u temperatura, x prostorna koordinata, t vrijeme i α je toplinska difuznost materijala.
Rješavanjem toplinske jednadžbe pod odgovarajućim graničnim i početnim uvjetima, znanstvenici i inženjeri mogu predvidjeti kako se toplina širi u čvrstim tvarima, tekućinama i plinovima. Ovo ima brojne praktične primjene u inženjerstvu, fizici, kemiji, biologiji…Osim toga, interdisciplinarna suradnja između matematičara, fizičara, inženjera i biologa doprinosi razvoju inovativnih pristupa i primjeni PDE modela na nova područja. Tako se ovi modeli koriste u računalnoj grafici, planiranju pretraživanja prostora, organizaciji robota, podjeli posla i upravljanju inteligentnim sustavima. Jedna od ovih primjena je prikazana na slici koja predstavlja upotrebu toplinske jednadžbe i algoritma HEDAC kako bi roboti naslikali sliku pomoću više kistova u isto vrijeme. Pomoću ovog algoritma napravljena je cijela znanstvena izložba pod nazivom „[ai] explore“ koju možete vidjeti na adresi: https://socri.uniri.hr/ai-explore/.